Nous examinons les relations entre cycles algébriques, variétés abéliennes, et la propriété de  rationalité stable pour les variétés projectives et lisses en caractéristique positive. Récemment, Voisin a exhibé deux nouvelles obstructions à la rationalité stable pour les solides projectifs complexes rationnellement connexes en donnant des conditions nécessaires et suffisantes à l’existence d’une décomposition cohomologique de la diagonale. Dans cet article, nous montrons comment étendre ces obstructions aux solides projectifs rationnellement connexes par chaine en caractéristique positive en utilisant la cohomologie $ \ell$-adique. Pour cela, nous étendons des résultats en théorie de Hodge concernant les jacobiennes intermédiaires et les applications d’Abel-Jacobi au contexte des représentants algébriques. Par exemple, nous établissons que le représentant algébrique pour les cycles de codimension deux sur un solide géométriquement rationnellement stable admet un isomorphisme canonique vers son dual qui coïncide en caractéristique nulle avec la polarisation principale sur la jacobienne intermédiaire provenant de la théorie de Hodge. Comme application, nous étendons un résultat de Voisin et montrons qu’en caractéristique positive différente de deux une désingularisation d’un solide quartique  très général possédant sept nuds n’admet pas de classe de cycle universel de codimension deux. En chemin, nous établissons des résultats concernant l’espace de modules des surfaces K3 nodales polarisées de degré quatre en caractéristique positive.