Nous associons à tout espace $G$-bornologique grossier $X$ et à toute $\infty$-catégorie exacte à gauche munie d'une $G$-action une $\infty$-catégorie exacte à gauche des objets équivariants $X$-contrôlés. En considérer la K-théorie nous conduit à de nouvelles homologies grossières équivariantes. Cela nous permet d'appliquer les résultats d'injectivité pour les morphismes d'assemblage dus à Bunke, Engel, Kasprowski et Winges à la K-théorie des $\infty$-catégorie exactes à gauche.