Soit $\mathcal {R}$ l'anneau des fonctions analytiques au bord du disque $D(0,1)$ d'un corps $p$-adique et soit $\mathcal {A}$ le sous-anneau des fonctions analytiques dans le disque tout entier. Le but de ce cours est de montrer que, sous certaines conditions de nature arithmétique portant sur la monodromie $p$-adique, un $\mathcal {R}$-module libre de type fini à connexion contient un $\mathcal {A}$-réseau sur lequel la connexion a pour seule singularité une singularité méromorphe en $0$. Ce résultat est motivé par les propriétés de finitude locales et globales dans la théorie des coefficients $p$-adiques. Sa démonstration utilise tous les résultats connus de la théorie des équations différentielles $p$-adiques et fournit donc l'occasion de présenter cette dernière.