Une courbe entière dans une variété complexe $X$ est une application holomorphe non constante de la droite complexe $\bf C$ à valeurs dans $X$. Autour de 1970, Kobayashi conjectura qu'une hypersurface générique dans ${\bf C}P^n$, de degré assez grand, ne contient aucune courbe entière. Autour de 1980, Green et Griffiths conjecturèrent qu'aucune courbe entière dans une variété projective complexe de type général (e.g., une hypersurface dans ${\bf C}P^n$ de degré $\ge n+2$) n'est Zariski-dense. On exposera les résultats récents de McQuillan et de Demailly-El Goul sur ces deux conjectures, dans le cas bidimensionnel. Ces travaux passent à travers la construction et l'étude de certains feuilletages holomorphes.