Étant donnée une fonction régulière de moyenne nulle sur le tore de dimension $2$, il est facile de voir que ses intégrales ergodiques au-dessus d'un flot de translation « générique »sont bornées. Il y a une dizaine d'années, A. Zorich a observé numériquement une croissance en puissance du temps de ces intégrales ergodiques au-dessus de flots d'Hamiltoniens (non-exacts) « génériques »sur des surfaces de genre supérieur ou égal à $2$, et Kontsevich et Zorich ont proposé une explication (conjecturelle) de ce phénomène par l'analyse du flot de Teichmüller sur l'espace des modules des différentielles abéliennes. Le but de l'exposé est de présenter quelques idées de la preuve que G. Forni a donnée de la conjecture de Kontsevich et Zorich.