Il est possible de démontrer, par des méthodes entièrement géométriques, l'existence d'une famille d'idempotents orthogonaux dans l'algèbre $\mathbb {Q}[S_n]$, ainsi que certaines propriétés remarquables de ces idempotents (comme la commutativité au bord de Hochschild abstrait). Ces résultats reposent sur l'étude de l'action des homothéties dans des groupes de polytopes. Ils permettent de retrouver, à la manière de constructions dues à J.-L. Loday, la filtration des groupes d'homologie de Hochschild d'une algèbre commutative à coefficients dans un bimodule symétrique.