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Sur le système local de Gauss-Manin d'un polynôme de deux variables

About the Gauss-Manin local system associated to a polynomial of two complexes variables

Gilles Bailly-Maitre
Sur le système local de Gauss-Manin d'un polynôme de deux variables
     
                
  • Année : 2000
  • Fascicule : 1
  • Tome : 128
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14~D~07, 14~F~45, 32~S~40
  • Pages : 87-101
  • DOI : 10.24033/bsmf.2364
L'objet de cet article est d'étudier le système local de Gauss-Manin $\mathbf {V=}R^{1}f_{*}\mathbb {C}_{X}$ associé à un polynôme $f$ de deux variables. On utilise une compactification lisse des fibres de $f$ pour obtenir une suite exacte $0\to \mathbf {\overline {V}\rightarrow V\rightarrow V}^{\infty } \rightarrow 0$. Les propriétés connues de $\mathbf {\overline {V}}$ et de $\mathbf {V}^{\infty }$ en impliquent de nouvelles sur $\mathbf {V}$. On montre notamment que $\mathbf {V}$ n'est pas semi-simple en général. On introduit ensuite la notion de bases spéciales de la fibre de $\mathbf {V}$ dans lesquelles on peut décrire de manière élégante la représentation de monodromie associée à $\mathbf {V}$.
This paper is dedicated to the study of the Gauss-Manin local system $\mathbf {V=}R^{1}f_{*}\mathbb {C}_{X}$ associated to a polynomial of two variables. We use a smooth compactification of the fibres of $f$ in order to obtain a short exact sequence $0\to \mathbf {\overline {V}\rightarrow V\rightarrow V}^{\infty }\mathbf {\rightarrow }0$. The well-known properties of $\mathbf {\overline {V}}$ and $\mathbf {V}^{\infty }$ imply some new ones on $\mathbf {V}$. In particular, we show that $\mathbf {V}$ is not semi-simple in general. We introduce specials bases of the fiber of $\mathbf {V}$ which are convenient for the description of the linear representation of monodromy associated to $\mathbf {V}$.


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