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Dualité locale et holonomie pour les $\mathcal {D}$-modules arithmétiques

Local duality and holonomy for arithmetic $\mathcal {D}$-modules

Anne Virrion
Dualité locale et holonomie pour les $\mathcal {D}$-modules arithmétiques
     
                
  • Année : 2000
  • Fascicule : 1
  • Tome : 128
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14~F~30
  • Pages : 1-68
  • DOI : 10.24033/bsmf.2362
L'objet de cet article est l'étude du foncteur de dualité $\mathbb {D}$ dans le cadre de la théorie des $\mathcal {D}$-modules développée par Berthelot en caractéristique mixte. Le premier point est de dégager les structures nécessaires à une définition satisfaisante de ce foncteur, puis d'établir le théorème de bidualité et la commutation de la dualité à l'extension des scalaires. Dans un deuxième temps, sous l'hypothèse d'existence d'un relèvement de Frobenius $F$, on montre la commutation des foncteurs $\mathbb {D}$ et $F^*$ pour les $\mathcal {D}$-modules à gauche, et des foncteurs $\mathbb {D}$ et $F^!$ pour les $\mathcal {D}$-modules à droite. Un outil essentiel ici est la théorie du foncteur image inverse exceptionnelle développée par Grothendieck et Hartshorne. La troisième et dernière partie est consacrée à l'étude de la dimension cohomologique de certains $\mathcal {D}$-modules, munis d'un isomorphisme avec leur image inverse par Frobenius. Grâce au théorème de descente par Frobenius établi par Berthelot, on déduit une caractérisation homologique de l'holonomie, de la même façon qu'en caractéristique nulle.
The object of this article is the study of the duality functor $\mathbb {D}$ in the context of $\mathcal {D}$-modules developed by Berthelot in mixed characteristic. The first part consists in extracting the required structures to obtain a good definition of this functor; next we establish the biduality theorem and prove the commutation of duality to scalar extension. In the second part we show the commutation of $\mathbb {D}$ and $F^*$ for left $\mathcal {D}$-modules and that of $\mathbb {D}$ and $F^!$ for right $\mathcal {D}$-modules, under the hypothesis of the existence of a pull-back by Frobenius $F$. An essential point here is the theory of exceptional inverse image functor developed by Grothendieck and Hartshorne. The third and last part consists in the study of the cohomological dimension of some $\mathcal {D}$-modules endowed with an isomorphism with their inverse image under Frobenius. Through the theorem of Frobenius descent established by Berthelot, we deduce a homological characterisation of holonomy as in characteristic zero.
$\mathcal D$-module, dualité, holonomie, morphisme de Frobenius, dimension cohomologique


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