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Sur la convergence radiale des potentiels associés à l'équation de Helmholtz

About radial convergence of potentials associated to Helmholtz

Alano Ancona, Nicolas Chevallier
Sur la convergence radiale des potentiels associés à l'équation de Helmholtz
     
                
  • Année : 2000
  • Fascicule : 2
  • Tome : 128
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 31~C~05, 31~C~12, 31~C~35, 60~J~45
  • Pages : 249-281
  • DOI : 10.24033/bsmf.2370
Soit $u$ une fonction surharmonique positive relativement à l'équation de Helmholtz $\Delta u-u=0$ dans ${\mathbb R} ^d$, $d\geq 2$, et soit $\Phi $ la solution radiale positive de cette équation vérifiant $\Phi (0)=1$. On montre qu'il peut arriver que la fonction $u/\Phi $ n'admette pas de limite à l'infini le long de tout rayon issu de l'origine, ce qui répond à une question de T. Lyons, B. MacGibbon et J.C. Taylor. Plus généralement, si $\tilde u$ est une moyenne d'un type convenable de $u$, on étudie l'existence de limites radiales dans presque toute direction pour $\tilde u/\Phi $. On est amené à approfondir l'étude de l'effilement minimal relatif à l'équation de Helmholtz et, dans une autre direction, à déterminer un équivalent asymptotique, pour $\lambda \to +\infty $, du noyau de Poisson associé à $\Delta -\lambda I$ dans un ouvert convexe $C^2$ de ${\mathbb R} ^d$. On indique aussi une approche unifiée et des extensions de plusieurs résultats connus prolongeant le théorème de convergence radiale de Littlewood.
Let $u$ be a nonnegative superharmonic function with respect to the Helmholtz equation $\Delta u-u=0$ in ${\mathbb R} ^d$, $d\geq 2$, and let $\Phi $ denote the radial positive solution of Helmholtz equation such that $\Phi (0)=1$. It is shown that in general $u/\Phi $ has no limit along every ray emanating from the origin in ${\mathbb R} ^d$, which solves a question raised by T. Lyons, B. MacGibbon and J.C. Taylor. More generally, the existence of limits along almost every ray of some means of a natural type of $u/\Phi $ is studied and the means for which the a. s. radial convergence holds for every $u$ characterized. We establish, as a tool, an asymptotic for $\lambda \to +\infty $ of the Poisson kernel with respect to $\Delta -\lambda I$ in a convex $C^2$ region of ${\mathbb R} ^d$. In a final section, extensions as well as a unified treatement of several known generalizations of the Littlewood radial convergence theorem are given.
limites radiales, potentiels, équation de Helmholtz, limites fines


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