Soit $u$ une fonction surharmonique positive relativement à l'équation de Helmholtz $\Delta u-u=0$ dans ${\mathbb R} ^d$, $d\geq 2$, et soit $\Phi$ la solution radiale positive de cette équation vérifiant $\Phi (0)=1$. On montre qu'il peut arriver que la fonction $u/\Phi$ n'admette pas de limite à l'infini le long de tout rayon issu de l'origine, ce qui répond à une question de T. Lyons, B. MacGibbon et J.C. Taylor. Plus généralement, si $\tilde u$ est une moyenne d'un type convenable de $u$, on étudie l'existence de limites radiales dans presque toute direction pour $\tilde u/\Phi$. On est amené à approfondir l'étude de l'effilement minimal relatif à l'équation de Helmholtz et, dans une autre direction, à déterminer un équivalent asymptotique, pour $\lambda \to +\infty$, du noyau de Poisson associé à $\Delta -\lambda I$ dans un ouvert convexe $C^2$ de ${\mathbb R} ^d$. On indique aussi une approche unifiée et des extensions de plusieurs résultats connus prolongeant le théorème de convergence radiale de Littlewood.