On contrôle l'écart entre la valeur moyenne d'une fonction sur une sous-variété d'une variété riemannienne, et sa valeur moyenne sur un voisinage tubulaire autour de la sous-variété (on donne, en effet, la valeur exacte de la dérivée seconde de cet écart). On applique ensuite cette formule afin d'obtenir des théorèmes de comparaison pour les valeurs propres et les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami, et pour calculer les trois premiers termes du développement asymptotique relatif à un problème de diffusion de la chaleur sur les polyèdres convexes dans un espace euclidien de dimension quelconque. On donne enfin des bornes explicites des restes du développement susdit, qui sont valable pour toute valeur du temps. Les résultats de cet article ont été annoncés (sans démonstrations) dans [16].