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Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif

Results on the Strange Duality Conjecture on the Projective Plane

Gentiana Danila
Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif
     
                
  • Année : 2002
  • Fascicule : 1
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14D20, 14F05, 14J60
  • Pages : 1-33
  • DOI : 10.24033/bsmf.2410
La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l'espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $\mathbb {P}_2$. On considère deux es orthogonales $c,u$ dans l'algèbre de Grothendieck ${\rm K}(\mathbb {P}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note ${\rm M}_c$ et ${\rm M}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de e $c$, respectivement $u$ sur $\mathbb {P}_2$. Il existe sur ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ sur l'espace produit ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ a une section canonique $\sigma _{c,u}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\to {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. Si ${\rm M}_c$ n'est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal {D}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première e de Chern nulle et deuxième e de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d'Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ pour $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, pour les es $c$ et $u$ considérées ci-dessus.
Le Potier's ‘Strange Duality' conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane $\mathbb {P}_2$. We consider two orthogonal es $c,u$ in the Grothendieck algebra ${\rm K}(\mathbb {P}_2)$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, and we call ${\rm M}_c$ and ${\rm M}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of $c$, respectively $u$ on $\mathbb {P}_2$. There exists on ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) a determinant bundle $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) and the product fibre bundle $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ on the product space ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ has a canonical section $\sigma _{c,u}$ which provides a linear application $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\to {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. If ${\rm M}_c$ is not empty, $\mathcal {D}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$, zero first Chern and second Chern $c_2(c)\le 5$, and $u$ is of degree $d(u)\le 3$ and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0 ({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ for $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, for the particular es $c$ and $u$ considered above.
Espaces de modules, fibré déterminant, dualité étrange, séries génératrices
Moduli spaces, determinant bundle, strange duality, generating series


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