Nous introduisons de nouvelles régularités de Kuo-Verdier $(r^e)$ et montrons que pour une stratification $C^2$ $(a + r^e)$-régulière, en particulier $(w)$-régulière, la fibre du cône normal le long d'une strate $Y$ est égale au cône tangent à la fibre d'une rétraction sur $Y$. Ceci généralise le résultat analogue pour les stratifications sous-analytiques $(b)$-régulières démontré par J.-P. Henry et M. Merle [9], et aussi le résultat analogue pour les stratifications différentiables $(w + \delta )$-régulières démontré par nous-même [17]. Nous démontrons aussi l'ouverture de la projection du cône normal — appelée pseudo-platitude normale.