SMF

Une approximation des irrationnels quadratiques

An approximation property of quadratic irrationals

Takao Komatsu
Une approximation des irrationnels quadratiques
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  • Année : 2002
  • Fascicule : 1
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11A63, 11J04, 11J70
  • Pages : 35-48
  • DOI : 10.24033/bsmf.2411
Soit $\alpha >1$ un irrationnel. Plusieurs auteurs ont étudié les nombres $ {\ell ^m(\alpha )=\inf \{\, |y|:y\in \Lambda _m,\, y\ne 0\}}, $ où $m$ est un entier positif et $\Lambda _m$ est l'ensemble de tous les réels de la forme $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ avec des $|\epsilon _i|\le m$ entiers. La valeur de $\ell ^1(\alpha )$ a été précisée pour beaucoup de nombres de Pisot et $\ell ^m(\alpha )$ pour le nombre d'or. Dans cet article, on détermine $\ell ^m(\alpha )$ lorsque $\alpha $ est un irrationnel qui satisfait $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ avec $a$ entier positif.
Let $\alpha >1$ be irrational. Several authors studied the numbers $ {\ell ^m(\alpha )=\inf \{\, |y|:y\in \Lambda _m,\, y\ne 0\}}, $ where $m$ is a positive integer and $\Lambda _m$ denotes the set of all real numbers of the form $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ with restricted integer coefficients $|\epsilon _i|\le m$. The value of $\ell ^1(\alpha )$ was determined for many particular Pisot numbers and $\ell ^m(\alpha )$ for the golden number. In this paper the value of $\ell ^m(\alpha )$ is determined for irrational numbers $\alpha $, satisfying $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ with a positive integer $a$.
Propriété d'approximation, nombres quadratiques irrationnels, fractions continues
Approximation property, quadratic irrationals, continued fractions