Tout difféomorphisme $F$ du tore $\mathbf {T}^2$ de dimension $2$ homotope à l'identité s'écrit comme composée de difféomorphismes déviant la verticale alternativement à droite et à gauche. La donnée d'une telle décomposition et d'un relèvement fixé $f$ de $F$ au plan permet de construire naturellement un champ de vecteurs sur une variété $E$ difféomorphe à $\mathbf {T}^2\times \mathbf {R}^{2n-2}$, où l'entier $2n$, égal au nombre d'applications apparaissant dans la décomposition, est d'autant plus grand que le difféomorphisme est loin de l'identité. L'ensemble des singularités de ce champ de vecteurs est en bijection avec l'ensemble des points fixes de $F$ qui se relèvent en des points fixes de $f$. L'étude de ce champ de vecteurs a été initiée dans [L1], principalement dans le cas où il n'y a pas de singularité. Nous étudions ici le cas plus général où apparaissent de telles singularités. Nous en déduisons des résultats généraux sur les points fixes et les orbites périodiques des difféomorphismes du tore homotopes à l'identité. John Franks a démontré qu'un homéomorphisme de l'anneau fermé $\mathbf {T}^1\times [0,1]$ ou de l'anneau ouvert $\mathbf {T}^1\times {}]0,1[$, qui préserve l'aire et qui a un point fixe, admet une infinité d'orbites périodiques. Dans un appendice écrit en collaboration avec J.-M. Gambaudo, nous donnons une démonstration différente de ce résultat pour les difféomorphismes de l'anneau fermé.