SMF

Décomposition convexe et concave des variétés projectives réelles

The Convex and Concave Decomposition of Manifolds with Real Projective Structures

Suhyoung CHOI
Décomposition convexe et concave des variétés projectives réelles
     
                
  • Année : 1999
  • Tome : 78
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary: 57M50; Secondary: 53A20, 53C15
  • Nb. de pages : 106
  • ISBN : 2-85629-079-5
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.391

Notre but est de décrire les propriétés projectives réelles géométriques des variétés munies de $(\mathbf {R} P^n, {\rm PGL}(n+1, \mathbf {R}))$-structures, où $n\geq 2$, c'est-à-dire des variétés équipées de connexions affines projectivement plates et sans torsion. Nous introduisons la définition de la $i$-convexité, $1\leq i \leq n-1$, due à Carrière et généralisant la convexité usuelle. Nous montrons que, si une variété n'est pas $(n-1)$-convexe, alors un certain objet géométrique, appelé $i$-croissant, existe dans le complété $\check M$ du revêtement universel $\tilde M$ de $M$. De plus, cette dernière propriété entraîne l'existence d'une sous-variété affine d'un certain type dans $M$ et d'une décomposition de $M$ en variétés projectives plus simples, dont certaines sont $(n-1)$-convexes et d'autres affines, plus précisément concaves affines. Une telle décomposition devrait s'avérer utile tout particulièrement en dimension $3$. En particulier, nous l'utiliserons pour ifier les variétés affines radiales de dimension $3$. Ici nous en déduisons enfin une conséquence pour les groupes de Lie affines.

We try to understand the geometric properties of $n$-manifolds ($n\geq 2$) with geometric structures modeled on $(\mathbf {R} P^n, {\rm PGL}(n+1, \mathbf {R}))$, i.e., $n$-manifolds with projectively flat torsion free affine connections. We define the notion of $i$-convexity of such manifolds due to Carrière for integers $i$, $1 \leq i \leq n-1$, which are generalization of convexity. Given a real projective $n$-manifold $M$, we show that the failure of an $(n-1)$-convexity of $M$ implies an existence of a certain geometric object, $n$-crescent, in the completion $\check M$ of the universal cover $\tilde M$ of $M$. We show that this further implies the existence of a particular type of affine submanifold in $M$ and give a natural decomposition of $M$ into simpler real projective manifolds, some of which are $(n-1)$-convex and others are affine, more specifically concave affine. We feel that it is useful to have such decomposition particularly in dimension three. Our result will later aid us to study the geometric and topological properties of radiant affine $3$-manifolds leading to their ification. We get a consequence for affine Lie groups.

Geometric structures, real projective manifold, real projective structure, convexity

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