Décomposition convexe et concave des variétés projectives réelles
The Convex and Concave Decomposition of Manifolds with Real Projective Structures
Anglais
Notre but est de décrire les propriétés projectives réelles géométriques des variétés munies de $(\mathbf {R} P^n, {\rm PGL}(n+1, \mathbf {R}))$-structures, où $n\geq 2$, c'est-à-dire des variétés équipées de connexions affines projectivement plates et sans torsion. Nous introduisons la définition de la $i$-convexité, $1\leq i \leq n-1$, due à Carrière et généralisant la convexité usuelle. Nous montrons que, si une variété n'est pas $(n-1)$-convexe, alors un certain objet géométrique, appelé $i$-croissant, existe dans le complété $\check M$ du revêtement universel $\tilde M$ de $M$. De plus, cette dernière propriété entraîne l'existence d'une sous-variété affine d'un certain type dans $M$ et d'une décomposition de $M$ en variétés projectives plus simples, dont certaines sont $(n-1)$-convexes et d'autres affines, plus précisément concaves affines. Une telle décomposition devrait s'avérer utile tout particulièrement en dimension $3$. En particulier, nous l'utiliserons pour ifier les variétés affines radiales de dimension $3$. Ici nous en déduisons enfin une conséquence pour les groupes de Lie affines.