Optique géométrique pour des systèmes semi-linéaires avec invariance de jauge
Geometric optics for gauge invariant semilinear systems
Français
L'objet de cet article est de justifier le recours à des méthodes de type « optique géométrique » pour une large e de systèmes d'équations de champs semi-linéaires, invariants à la fois par transformations de Lorentz et par changements de jauge. Nous construisons explicitement des familles de solutions approchées d'un système modèle, couplant un champ de jauge (équation de Yang–Mills) avec un champ scalaire (équation des ondes) et un champ de spineurs (équation de Dirac), sous forme de développements oscillant à haute fréquence, monophasés, d'amplitude maximale. Nous justifions ensuite notre démarche en prouvant l'existence de solutions exactes, qui prolongent asymptotiquement les développements oscillants obtenus. Les potentiels de Yang–Mills, champ scalaire et champ de spineurs ainsi générés ne restent uniformément bornés que dans — respectivement — $H^{1/2}, H^{1/2}$ et $L^2$. L'obtention de solutions oscillantes de forte amplitude montre que le système étudié peut conserver un comportement non linéaire stable pour toute une e de champs de très faible régularité.