Sur une variété riemannienne complète non compacte $(M,g)$, je montre que la possibilité de résoudre des équations semi-linéaires de la forme $\Delta u = f(x)F(u)$ équivaut à celle de résoudre l'équation linéaire $\Delta v = f(x)$, moyennant certaines hypothèses sur $u$ et $v, f$ et $F$. J'appelle ce phénomène « équilinéarité ». Lorsque $M$ est de dimension $n>2$ et $g$ scalaire-plate, non-parabolique, j'en déduis une caractérisation de l'ensemble $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$ des fonctions qui sont courbures scalaires de métriques quasi-isométriques à $g$. Dans le cas particulier de l'espace euclidien, mon résultat améliore [13] et, combiné au théorème de Liouville, il en explique la condition ad hoc d'évanouissement partiel à l'infini. Je discute en annexe une liste d'incompatibilités de signe entre fonctions de $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$, déduites de propriétés connues du laplacien sous trois hypothèses géométriques naturelles.