Un morphisme non constant d'une courbe de genre $2$ vers une courbe de genre $1$ admet, en général, plusieurs morphismes complémentaires. Nous proposons dans ce travail une manière canonique de choisir un tel complémentaire, et discutons quelques propriétés remarquables de ce complémentaire. Cette construction, dans le cas où le morphisme donné est de degré impair, est connue ; le cas du degré pair présente une difficulté supplémentaire.