On définit et étudie les notions de faisceaux $p$-adiques lisses de de Rham et cristallins sur des bases $p$-adiques « convenables ». On introduit pour cela des anneaux de périodes $p$-adiques (analogues à ceux de J.-M. Fontaine), qui permettent de leur associer des invariants de nature différentielle. Dans le cas de bonne réduction, on obtient un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des faisceaux $p$-adiques lisses cristallins dans celle des $F$-isocristaux filtrés sur la fibre spéciale.