Nous démontrons une conjecture de Goncharov et Manin qui prédit que les périodes des espaces de modules $\mathfrak {M}_{0,n}$ des courbes de genre $0$ avec $n$ points marqués sont des valeurs zêta multiples. Nous introduisons une algèbre différentielle de fonctions polylogarithmes multiples sur $\mathfrak {M}_{0,n}$ dans laquelle il existe des primitives. L'idée principale est d'appliquer une version de la formule de Stokes récursivement pour réduire chaque intégrale de périodes à une combinaison linéaire de valeurs zêta multiples. Nous donnons également une interprétation géométrique des double relations de mélange pour les valeurs zêta multiples. En considérant des applications naturelles entre les espaces des modules, on déduit des formules de produit générales entre leurs périodes. Les doubles relations de mélange s'obtiennent comme deux cas particuliers de cette construction.