D'après un théorème de Dirichlet, pour tous nombres réels $\alpha _{ij}$, $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq m$, et pour tout entier $Q > 1$, il existe des entiers $q_1, \dots , q_m, p_1, \dots , p_n$ vérifiant $ 1 \leq \max \{|q_1|, \dots , |q_m|\} \leq Q \qquad (1) $ et $ \max _{1 \leq i \leq n}^{} \, |\alpha _{i1} q_1 + \dots + \alpha _{im} q_m - p_i| \leq Q^{-m/n} . \qquad (2) $ Ce résultat a été étendu et généralisé dans de nombreuses directions. En outre, il découle de (1) et (2) que $ 1 \leq \left ( \, \prod _{j=1}^m \, \max \{1, |q_j|\} \, \right )^{1/m} \leq Q \qquad (3) $ et $ \left ( \, \prod _{1 \leq i \leq n} \, |\alpha _{i1} q_1 + \dots + \alpha _{im} q_m - p_i| \, \right )^{1/n} \leq Q^{-m/n}. \qquad (4) $ Les extensions du théorème de Dirichlet faisant intervenir la moyenne géométrique, comme dans (3) et (4), au lieu de la norme sup ont été nettement moins étudiées, en particulier parce qu'il s'agit d'un problème nettement plus difficile. Notre but est de recenser les résultats connus dans ce domaine, que nous appelons l'approximation diophantienne multiplicative. Nous incluons également plusieurs théorèmes nouveaux et mettons en avant quelques questions ouvertes qui nous semblent pertinentes.