Dans cet article, nous rappelons l'existence de graphes à valence finie tels que la probabilité de retour de la marche aléatoire simple soit de l'ordre de $\exp (-n^{\alpha }),$ pour $\alpha \in [0,1[$ et tels que la fonction de Følner du graphe soit en $\exp (n^{ \frac {2\alpha }{1-\alpha }})$. Ce résultat a été prouvé par Erschler (voir [?], [?]). Une preuve plus détaillée de cette construction est donnée en annexe. Dans une seconde partie, nous donnons une application de l'existence de tels graphes. Nous obtenons des estimées du bon ordre pour certaines fonctionnelles des temps locaux de la marche aléatoire simple sur un amas infini de percolation.