L'idée fondamentale de la théorie de jauge (en mathématiques) est d'étudier les espaces de modules des solutions de certains systèmes d'équations à dérivées partielles sur une variété différentiable et d'obtenir des informations sur la variété (par exemple des informations sur son type de difféomorphisme) à partir de ces espaces de modules. En partant de cela on a obtenu les premiers résultats spectaculaires en topologie différentielle 4-dimensionnelle :

• on a montré que la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable orientée compacte est standard sur $\mathbb {Z}$ si cette forme est définie (positivement ou négativement) ce qui, d'après les résultats de Freedman concernant la ification des variétés topologiques, est totalement faux dans le contexte topologique ;
• on a introduit et calculé explicitement les premiers invariants ${\mathcal C}^\infty $ en dimension 4, à savoir les invariants de Donaldson, à l'aide desquels on a trouvé les premières paires exotiques (paires de 4-variétés différentiables orientées, homéomorphes mais non-difféomorphes).

Le but de ce cours spécialisé est de donner une introduction solide à la théorie de jauge et d'en présenter en détail quelques applications importantes en topologie différentielle 4-dimensionnelle, notamment le théorème de Donaldson sur la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable et la conjecture de Van de Ven sur la ification topologique-différentiable des surfaces complexes. Ce cours est essentiellement dédié à la théorie de Seiberg-Witten, qui est accessible aux étudiants, mais il contient aussi des éléments de la théorie de Donaldson : le groupe de jauge d'un fibré principal, les équations de Yang-Mills, les équations d'anti-dualité, des exemples d'espaces de modules de connexions de Yang-Mills. Il est accessible aux étudiants ayant suivi des cours de géométrie différentielle et de topologie algébrique, et qui ont des notions de base de l'analyse moderne (espaces de Sobolev, distributions, opérateurs différentiels).