Soit $X$ une variété projective uniréglée et soit $x$ un point général. D'après le résultat principal de [?], si le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $\dim (X)+1$, alors $X$ est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de $X$ sous l'hypothèse que le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $\dim (X)$. Notre étude repose sur la variété projective $\mathcal C_x\subset \mathbb PT_x(X)$ que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en $x$ et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par $x$ dont le degré par rapport à $-K_X$ est minimal. Lorsque ce degré est égal à $\dim (X)$, la VMRT $\mathcal C_x$ est une hypersurface de $\mathbb PT_x(X)$. Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d'une variété projective uniréglée $X$ de dimension $\geq 4$ est une hypersurface, alors $X$ est birationnelle au quotient d'une variété rationnelle explicite par l'action d'un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de $X$ est égal à $1$, nous en déduisons que $X$ est une hypersurface quadrique d'un espace projectif.