La géométrie intégrale, aussi appelée théorie des probabilités géométriques, a accompagné pendant plus de deux siècles le développement des probabilités, de la théorie de la mesure et de la géométrie. Elle commence pour nous en 1777, date de la publication du « traité d'arithmétique morale » de Buffon. Ce n'est que presque un siècle plus tard que Crofton explicitera ce que veut dire mettre une mesure sur un ensemble continu comme l'ensemble des droites. Le sens de la formule de Cauchy-Crofton « la longueur d'une courbe plane est proportionnelle à la mesure pondérée de l'ensemble des droites qui la coupent », est maintenant clair. Au début du vingtième siècle, la géométrie intégrale commence à considérer les formes des objets étudiés. Minkowski, en 1901, a trouvé la première relation entre une intégrale de courbure sur $\partial Q$ et la mesure de l'ensemble des plans coupant $Q$. Steiner, Blaschke, Chern ont obtenu de nombreux résultats dans le même esprit concernant les courbes et les surfaces. La topologie est entrée dans le jeu pendant la seconde moitié du vingtième siècle. Toutefois le premier résultat de géométrie intégrale faisant intervenir la topologie est celui montré en 1929 par Fenchel : la courbure totale d'une courbe fermée plongée dans l'espace euclidien $\mathbb R^3$ est supérieure ou égale à $2\pi $. Nous savons maintenant que si, de plus, la courbe est nouée, cette courbure totale est supérieure à $4 \pi $, ce qui indique qu'une topologie plus compliquée exige une géométrie plus compliquée. Nous montrerons bien d'autres exemples, dans des espaces euclidiens ou de courbure constante. Nous présenterons ensuite des résultats du même type concernant les courbes complexes et les feuilletages de variétés de courbure constante. Jusqu'à maintenant, il fallait que l'espace ambient soit muni d'une métrique. La géométrie locale des courbes, surfaces ou feuilletages que nous observions était mesurée en utilisant des fonctions de courbure. La géométrie conforme se comporte souvent différemment. Il faut souvent considérer la géométrie locale de paires de points. La contrepartie globale sera mesurée en considérant la position de ces courbes ou surfaces relativement à des sphères. La non-compacité de l'ensemble des $2$-sphères de $\mathbb S^3$ est une difficulté supplémentaire. Nous décrirons les premiers résultats obtenus dans cette direction.