Cet article est consacré à une preuve d'un résultat d'existence globale pour l'équation des ondes de gravité à données de Cauchy régulières, petites et décroissantes à l'infini. On obtient de plus une description asymptotique de la solution dans les coordonnées physiques, qui montre qu'il y a diffusion modifiée. La démonstration est basée sur un argument inductif faisant intervenir des estimations a priori dans $L^2$ et $L^\infty $. Les bornes $L^2$ sont prouvées dans [Alazard & Delort, Astérisque 374 (2015)], texte complémentaire au présent article. Elles reposent sur une méthode de formes normales paradifférentielles permettant d'obtenir des estimations d'énergie sur la formulation eulérienne de l'équation des ondes de gravité. Nous donnons ici une démonstration des bornes uniformes, en interprétant l'équation de manière semi- ique, et en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec la description de la solution en termes de distributions lagrangiennes semi- iques. Cela nous permet, compte tenu des estimations $L^2$ de [Alazard & Delort, Astérisque 374 (2015)], d'en déduire notre principal résultat d'existence globale.