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Quotients adjoints de groupes réductifs

Adjoint quotients of reductive groups

Ting-Yu LEE
Quotients adjoints de groupes réductifs
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  • Année : 2016
  • Tome : 47
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14L15, 14L24, 14L30, 13A50, 20G05, 20G35.
  • Pages : 131-145

Soit $k$ un anneau commutatif et $\mathrm G$ un groupe réductif sur $k$. Dans cet article, on va definir le quotient adjoint $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$ de $\mathrm G$ sur $k$ et démontrer que la construction est stable par changement de base. En plus, si $\mathrm G$ possède un tore maximal $\mathrm T$, le quotient adjoint de $\mathrm T$ par son groupe de Weyl est isomorphe à $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$. Dans la derniere section, on se concentre sur le cas $\mathrm G$ semi-simple simplement connexe de type constant. Dans ce cas, $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$ est isomorphe à la restriction de Weil $\prod _{\mathrm {D}/\mathrm {spec}\, k}\mathbb {A}^{1}_{\mathrm {D}}$, où $\mathrm D$ est le schéma de Dynkin. Si $\mathrm G$ est de plus quasi-déployable et sans composantes de type $\mathrm A_{2m}$, on peut construire la cross-section de Steinberg sur $k$.

Let $\mathrm G$ be a reductive group over a commutative ring $k$. In this article, we prove that the adjoint quotient $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$ is stable under base change. Moreover, if $\mathrm G$ has a maximal torus $\mathrm T$, then the adjoint quotient of the torus $\mathrm T$ by its Weyl group will be isomorphic to $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$. Then we focus on the semisimple simply connected group $\mathrm G$ of the constant type. In this case, $\mathrm {G}\mathbin {/\kern -1pt/}\mathrm {G}$ is isomorphic to the Weil restriction $\prod _{\mathrm {D}/\mathrm {spec}\, k}\mathbb {A}^{1}_{\mathrm {D}}$, where $\mathrm D$ is the Dynkin scheme of $\mathrm G$. Then we prove that for such $\mathrm G$, the Steinberg's cross-section can be defined over $k$ if $\mathrm G$ is quasi-split and without $\mathrm A_{2m}$-type components.

Groupe de Chevalley, quotient adjoint, cross-section de Steinberg, représentation fondamentale.
Chevalley group scheme, adjoint quotient, Steinberg's cross-section, fundamental representations.