Soit $(f_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }$ une famille holomorphe d'automorphismes polynomiaux de $\mathbb {C}^2$. En accord avec un travail précédent de Dujardin et Lyubich, nous disons qu'une telle famille est faiblement stable si ses points périodiques ne bifurquent pas. La question est ouverte de savoir si cette notion équivaut à celle de stabilité structurelle sur l'ensemble de Julia $J^*$ (qui est par définition l'adhérence de l'ensemble des points périodiques selles). Dans cet article nous introduisons une notion de point régulier pour un tel automorphisme, inspirée par la théorie de Pesin, et montrons que dans une famille faiblement stable, l'ensemble des points réguliers se déplace selon un mouvement holomorphe. Nous en déduisons qu'une famille faiblement stable est structurellement stable en un sens probabiliste. Une autre conséquence de cette étude est que la stabilité faible préserve l'hyperbolicité uniforme sur $J^*$.