Cette monographie est consacrée à l'étude de la dynamique, dans les espaces de Sobolev, de l'équation de Szegő cubique sur le cercle $\S ^1$, $ i\partial _t u=\Pi (\vert u\vert ^2u), $ où $\Pi $ désigne le projecteur orthogonal de $L^2(\S ^1)$ sur le sous-espace $L^2_+(\S ^1)$ des fonctions à modes de Fourier positifs ou nuls. On construit une transformée de Fourier non linéaire sur $H^{1/2}(\S ^1)\cap L^2_+(\S ^1)$ permettant de résoudre explicitement cette équation avec données initiales dans $H^{1/2}(\S ^1)\cap L^2_+(\S ^1)$. Ces formules explicites entraînent la presque périodicité des solutions dans cet espace. Par ailleurs, elles permettent de mettre en évidence le phénomène de turbulence suivant. Pour un $G_\delta $ dense de données initiales de $C^\infty (\S ^1)\cap L^2_+(\S ^1)$, les solutions tendent vers l'infini à vitesse sur–polynomiale en norme $H^s(\S ^1)$ pour tout $s>\frac 12$ sur une suite de temps, alors qu'elles retournent vers leur donnée initiale sur une autre suite de temps tendant vers l'infini. Cette transformation est définie via la résolution d'un problème spectral inverse lié aux valeurs singulières d'un opérateur de Hankel Hilbert-Schmidt et de son opérateur décalé.