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Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe $\mathfrak {p}$-adique

Representations of twisted spaces on a connected reductive $\mathfrak {p}$-adic group

Bertrand LEMAIRE, Guy HENNIART
Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe $\mathfrak {p}$-adique
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  • Année : 2017
  • Tome : 386
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50
  • Nb. de pages : 376
  • ISBN : 978-2-85629-851-0
  • ISSN : print 0303-1179, electronic 2492-5926
  • DOI : 10.24033/ast.1013

Soit $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien, de caractéristique quelconque. Soient $G$ un groupe réductif connexe défini sur $F$, et $G^\natural $ un $G$-espace tordu lui aussi défini sur $F$. On suppose que l'ensemble $G^\natural (F)$ n'est pas vide, et on le munit de la topologie définie par $F$. On fixe un caractère $\omega $ (i.e. un homomorphisme continu dans ${\mathbb C}^\times $) de $G(F)$. Dans ce mémoire, on développe la théorie des $\omega $-représentations (complexes, lisses) de $G^\natural (F)$ à partir de celle des représentations de $G(F)$. Une $\omega $-représentation de $G^\natural (F)$ est par définition la donnée d'une représentation $(\pi ,V)$ de $G(F)$ et d'une application $\Pi $ de $G^\natural (F)$ dans le groupe des $\mathbb C$-automorphismes de $V$ telle que $\Pi (x\cdot \delta \cdot y) = \pi (x) \circ \Pi (\delta )\circ (\omega \pi )(y)$ pour tout $\delta \in G^\natural (F)$ et tous $x,\, y\in G(F)$. Si la représentation sous-jacente $\pi $ de $G(F)$ est admissible, on peut définir le caractère $\Theta _\Pi $ de $\Pi $, qui est une distribution sur $G^\natural (F)$. Les principaux résultats prouvés dans ce mémoire sont :

  • si $\pi $ est de longueur finie, alors la distribution $\Theta _\Pi $ est donnée par une fonction localement constante sur l'ouvert des éléments (quasi-)réguliers de $G^\natural (F)$ ;
  • le théorème de Paley-Wiener scalaire, qui décrit l'image de la transformée de Fourier – l'application qui à une fonction localement constante et à support compact $\phi $ sur $G^\natural (F)$ associe la forme linéaire $\Pi \mapsto \Theta _\Pi (\phi )$ sur un groupe de Grothendieck adéquat ;
  • le théorème de densité spectrale, qui décrit le noyau de la transformée de Fourier.

Let $F$ be a locally compact non-Archimedean field, of any characteristic. Let $G$ be a connected reductive group defined over $F$, and $G^\natural $ be a twisted $G$-space also defined over $F$. The set $G^\natural (F)$ is assumed to be non-empty, and it is endowed with the topology defined by $F$. We fix a character $\omega $ (i.e. a continuous homomorphism in ${\mathbb C}^\times $) of $G(F)$. In this memoir, we study the theory of (complex, smooth) $\omega $-representations of $G^\natural (F)$, from that of representations of $G(F)$. An $\omega $-representation of $G^\natural (F)$ is given by a representation $(\pi ,V)$ of $G(F)$ and a map $\Pi $ from $G^\natural (F)$ into the group of $\mathbb C$-automorphisms of $V$, such that $\Pi (x\cdot \delta \cdot y) = \pi (x) \circ \Pi (\delta )\circ (\omega \pi )(y)$ for all $\delta \in G^\natural (F)$ and all $x,\, y\in G(F)$. If the underlying representation $\pi $ of $G(F)$ is admissible, we can define the character $\Theta _\Pi $ of $\Pi $, which is a distribution on $G^\natural (F)$. The main results proved in this memoir are :

  • if $\pi $ is of finite length, then the distribution $\Theta _\Pi $ is given by a locally constant function on the open set of (quasi-)regular elements in $G^\natural (F)$ ;
  • the scalar Paley-Wiener theorem, which describes the image of the Fourier transform – the map which associate to a compactly supported locally constant function $\phi $ on $G^\natural (F)$ the linear form $\Pi \mapsto \Theta _\Pi (\phi )$ on a suitable Grothendieck group ;
  • the spectral density theorem, which describes the kernel of the Fourier transform.
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