Nous calculons le hessien $\mathrm {id}'\mathrm {d}'' \mathbb {W} $ de la forme hermitienne naturelle $\mathbb {W} $ successivement sur la famille de Calabi $\mathbb T (M,g,(I,J,K))$ d'une variété hyperkählérienne $(M,g,(I,J,K))$, sur l'espace des twisteurs $\mathbb T (M,g)$ d'une variété riemannienne $(M,g)$ de dimension $4$ anti-auto duale et sur l'espace des twisteurs $\mathbb T (M,g,D)$ d'une variété quaternionique kähler $(M,g,D)$. Nous montrons une propriété de convexité de la composante de l'espace des cycles de la famille de Calabi d'une variété hyperkählérienne, qui contient les droites twistorielles. Nous montrons aussi des propriétés de convexité de l'espace des $1$-cycles de l'espace des twisteurs d'une variété d'Einstein de dimension $4$ anti-auto duale à courbure scalaire négative et de l'espace des $1$-cycles de l'espace des twisteurs d'une variété quaternionique kähler à courbure scalaire négative. Nous vérifions aussi qu'aucune variété fortement kählerienne avec torsion ($KT$) non kählérienne n'est obtenue par les constructions précédentes.