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Résonances de potentiels rapidement oscillants

Scattering resonances for highly oscillatory potentials

Alexis DROUOT
Résonances de potentiels rapidement oscillants
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 4
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35P15, 35P25, 42B20.
  • Pages : 865-925
  • DOI : 10.24033/asens.2368

Nous étudions les résonances de potentiels à support compact Vε(x)=W(x,x/ε), où W:Rd×Rd/(2πZ)dC et d est impair. Ainsi, Vε est la somme d'un potentiel qui varie lentement W0 et d'un potentiel qui oscille à fréquence 1/ε. Quand W00 nous prouvons que Vε n'a pas de résonances dans la zone {ImλAln(ε1)} mise à part une unique résonance proche de 0 si d=1. Nous montrons par un exemple explicite que ce résultat est optimal. Cela prouve une conjecture de Duchêne-Vukićević-Weinstein [?]. Quand W00 et W est lisse nous montrons que les resonances de Vε qui restent bornées lorsque ε tend vers 0 admettent une expansion en puissances de ε. Les arguments de la preuve permettent de calculer les coefficients de cette expansion. Nous construisons un potentiel effectif qui converge uniformément vers W0 lorsque ε tend vers 0 et dont les résonances sont à distance O(ε4) de celles de W0. Cela améliore et étend les résultats de Duchêne, Vukićević et Weinstein à toutes les dimensions impaires.

We study resonances of compactly supported potentials Vε(x)=W(x,x/ε) where W:Rd×Rd/(2πZ)dC, d odd. That means that Vε is a sum of a slowly varying potential, W0, and one oscillating at frequency 1/ε. When W00 we prove that there are no resonances above the line Imλ=Aln(ε1), except a simple resonance near 0 when d=1. We show that this result is optimal by constructing a one-dimensional example. This settles a conjecture of Duchêne-Vukićević-Weinstein [?]. When W00 and W smooth we prove that resonances in fixed strips admit an expansion in powers of ε. The argument provides a method for computing the coefficients of the expansion. We produce an effective potential converging uniformly to W0 as ε0 and whose resonances approach resonances of Vε modulo O(ε4). This improves the one-dimensional result of Duchêne, Vukićević and Weinstein and extends it to all odd dimensions.

Résonances, potentiels rapidement oscillants, expansions asymptotiques.
Scattering resonances, highly oscillatory potentials, asymptotic expansions.