Étant donnée une courbe de Prym--Teichmüller dans $\mathcal{M}_3$, cette note introduit un invariant qui trie par composante les prototypes cusp de Lanneau et Nguyen. Il peut être vu comme l'analogue en genre $3$ de l'invariant spin en genre $2$ de McMullen, bien que la source de cet invariant soit différente. De plus, nous décrivons l'action de Galois sur les cusps des courbes de Teichmüller, étendant les résultats en genre $2$ de Bouw et Möller. Cela nous permet de montrer que les composants des courbes de Prym-Teichmüller en genre $3$ sont homéomorphes.