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Algèbres de Hecke doubles affines cyclotomiques

Cyclotomic double affine Hecke algebras

Alexander BRAVERMAN, Pavel ETINGOF & Michael FINKELBERG
Algèbres de Hecke doubles affines cyclotomiques
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 5
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20C08; 13H10
  • Pages : 1249-1312
  • DOI : 10.24033/asens.2446

Nous démontrons que l'algèbre rationnelle cyclotomique de Cherednik partiellement sphérique (obtenue à partir de l'algèbre rationnelle de Cherednik complète en effectuant la moyenne par la partie cyclotomique du groupe de réflexions sous-jacent) admet quatre autres descriptions:
(1)comme une sous-algèbre de la DAHA dégénerée de type A donnée par générateurs;
(2) comme une algèbre donnée par générateurs et relations;
(3) comme une algèbre des opérateurs différentiels-réflexions  préservant certains espaces des fonctions;
(4) comme l'homologie de Borel-Moore équivariante d'une certaine variété.
Aussi nous définissons une nouvelle $q$-déformation de cette algèbre que nous appelons   DAHA cyclotomique. A savoir, nous donnons une $q$-déformation de chacune des descriptions ci-dessus de l'algèbre rationelle de Cherednik partiellement sphérique, remplaçant les opérateurs différentiels par les opérateurs en différences, DAHA dégénerée par DAHA, et l'homologie par la $K$-théorie; et démontrons qu'ils donnent lieu à la même algèbre. En outre, nous montrons que les DAHA sphériques cyclotomiques sont les quantifications de certaines variétés de carquois et arc multiplicatives, qui peuvent être interprétées comme les branches de Coulomb  $K$-théoriques  d'une théorie de  jauge de carquois encadrée. Enfin, nous appliquons la DAHA cyclotomique pour prouver de nouveaux résultats de platitude pour des types différents d'espaces de quasi-invariants $q$-déformés.

We show that the partially spherical cyclotomic rational Cherednik algebra (obtained from the full rational Cherednik algebra by averaging out the cyclotomic part of the underlying reflection group) has four other descriptions:

(1) as a subalgebra of the degenerate DAHA of type A given by generators

(2) as an algebra given by generators and relations

(3) as an algebra of differential-reflection operators preserving some spaces of functions
(4) as equivariant Borel-Moore homology of a certain variety.

Also, we define a new $q$-deformation of this algebra, which we call cyclotomic DAHA. Namely, we give a $q$-deformation of each of the above four descriptions of the partially spherical  rational Cherednik algebra, replacing differential operators with difference operators, degenerate DAHA with DAHA, and homology with K-theory, and show that they give the same algebra. In addition, we show that spherical cyclotomic DAHA are quantizations of certain multiplicative quiver and bow varieties, which may be interpreted as K-theoretic Coulomb branches of a framed quiver gauge theory. Finally, we apply cyclotomic DAHA to prove new flatness results for various kinds of spaces of~$q$-deformed quasiinvariants

Algèbres de Hecke doubles affines cyclotomiques, variétés de carquois multiplicatives, variétés de arc multiplicatives, quasi-invariants $q$-déformés
Cyclotomic double affine Hecke algebras, multiplicative quiver varieties, multiplicative bow varieties, $q$-deformed quasiinvariants
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