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Une preuve variationnelle de la régularité partielle pour le transport optimal

A variational proof of partial regularity for optimal transportation maps

Michael GOLDMAN & Felix OTTO
Une preuve variationnelle de la régularité partielle pour le transport optimal
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 5
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35J96, 35J70, 35J50
  • Pages : 1209-1233
  • DOI : 10.24033/asens.2444

Nous donnons une nouvelle preuve d'un résultat connu concernant la régularité partielle des applications de transport optimal (application de Brenier) dans le cas du transport entre deux densités Hölder continues. A l'inverse de la théorie existante pour la régularité de l'équation de Monge-Ampère, basée sur le principe du maximum, notre preuve est purement variationnelle. En construisant un compétiteur pour la formulation eulerienne (Benamou-Brenier), nous montrons que localement, le champ de vitesses est proche du gradient d'une fonction harmonique si l'énergie de transport est assez petite. En traduisant cela dans la formulation lagrangienne, nous obtenons un résultat d'$ε$-régularité à travers un schéma itératif à la Campanato.

We provide a new proof of the known partial regularity result for the optimal transportation map (Brenier map) between two H\"older continuous densities. Contrary to the existing regularity theory for the Monge-Ampère equation, which is based on the maximum principle, our approach is purely variational.By constructing a competitor on the level of the Eulerian (Benamou-Brenier) formulation, we show that locally, the velocity is close to the gradient of a harmonic function provided the transportation cost is small. We then translate back to the Lagrangian description and perform a Campanato iteration to obtain an $ε$-regularity result.

Transport optimal, régularité partielle, équation de Monge-Ampère
Optimal transportation, partial regularity, Monge-Ampère equation
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