SMF

Applications conformes à grande échelle

Large scale conformal maps

Pierre PANSU
Applications conformes à grande échelle
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 4
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53A30, 53C23, 52C26, 33E05, 31C12, 31A15, 30F45, 37F35
  • Pages : 831-887
  • DOI : 10.24033/asens.2472

Grosso modo, une application entre espaces métriques est conforme à grande échelle si elle envoie tout empilement de grandes boules sur une collection de grandes quasi-boules qui ne se chevauchent pas trop. Cette notion est un invariant de quasi-isométrie, elle s'étend aux groupes de type fini. En s'inspirant de travaux de Benjamini et Schramm, on montre qu'en présence d'une telle application, une sorte de dimension doit augmenter : il s'agit de l'exposant de croissance polynômiale du volume pour les groupes nilpotents, de la dimension conforme du bord pour les groupes hyperboliques. Une nouvelle définition, purement métrique, de la cohomologie $\ell^p$ joue un rôle important.

Roughly speaking, let us say that a map between metric spaces is large-scale conformal if it maps packings by large balls to large quasi-balls with limited overlaps. This quasi-isometry invariant notion makes sense for finitely generated groups. Inspired by work by Benjamini and Schramm, we show that under such maps, some kind of dimension increases: exponent of polynomial volume growth for nilpotent groups, conformal dimension of the ideal boundary for hyperbolic groups. A purely metric space notion of $\ell^p$-cohomology plays a key role.

Transformation conforme, transformation quasiconforme, dimension conforme, énergie de Dirichlet, application p-harmonique, cohomologie Lp, capacité
Conformal mapping, quasiconformal map, conformal dimension, Dirichlet energy, p-harmonic map, Lp-cohomology, capacity
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