Dans cet article nous présentons une approche des invariants cohomologiques des groupes algébriques basée sur les $K$-théories de Morava.

Nous montrons que la deuxième $K$-théorie de Morava détecte la trivialité de l'invariant de Rost et, plus généralement, établissons un rapport entre la trivialité des invariants cohomologiques et le déploiement des motifs de Morava.

Nous calculons la $K$-théorie de Morava des motifs généralisés de Rost et de quelques variétés affines et caractérisons les puissances de l'idéal fondamental de l'anneau de Witt à l'aide de la $K$-théorie de Morava. Par ailleurs, nous obtenons de nouvelles estimations de la torsion dans les groupes de Chow des quadriques et étudions la torsion dans les groupes de Chow des variétés $K(n)$-déployées. La gamma-filtration de $K$-théorie de Morava joue un rôle important dans les preuves, et fournit une explication conceptuelle de la nature de la torsion.

De plus, nous montrons que sous certaines conditions, si le $K(n)$-motif d'une variété projective lisse est déployé, alors son $K(m)$-motif est déployé pour tout $m \le n$.