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Applications de la $K$-théorie de Morava aux groupes algébriques

Applications of the Morava $K$-theory to algebraic groups

Pavel SECHIN & Nikita SEMENOV
Applications de la $K$-théorie de Morava aux groupes algébriques
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 4
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20G15, 11E72, 19E15
  • Pages : 945-990
  • DOI : 10.24033/asens.2474

Dans cet article nous présentons une approche des invariants cohomologiques des groupes algébriques basée sur les $K$-théories de Morava.

Nous montrons que la deuxième $K$-théorie de Morava détecte la trivialité de l'invariant de Rost et, plus généralement, établissons un rapport entre la trivialité des invariants cohomologiques et le déploiement des motifs de Morava.

Nous calculons la $K$-théorie de Morava des motifs généralisés de Rost et de quelques variétés affines et caractérisons les puissances de l'idéal fondamental de l'anneau de Witt à l'aide de la $K$-théorie de Morava. Par ailleurs, nous obtenons de nouvelles estimations de la torsion dans les groupes de Chow des quadriques et étudions la torsion dans les groupes de Chow des variétés $K(n)$-déployées. La gamma-filtration de $K$-théorie de Morava joue un rôle important dans les preuves, et fournit une explication conceptuelle de la nature de la torsion.

De plus, nous montrons que sous certaines conditions, si le $K(n)$-motif d'une variété projective lisse est déployé, alors son $K(m)$-motif est déployé pour tout $m \le n$.

In this article we discuss an approach to cohomological invariants of algebraic groups based on the Morava $K$-theories.

We show that the second Morava $K$-theory detects the triviality of the Rost invariant and, more generally, relate the triviality of cohomological invariants and the splitting of Morava motives.

We compute the Morava $K$-theory of generalized Rost motives and of some affine varieties and characterize the powers of the fundamental ideal of the Witt ring with the help of the Morava $K$-theory. Besides, we obtain new estimates on torsion in Chow groups of quadrics and investigate torsion in Chow groups of $K(n)$-split varieties. An important role in the proofs is played by the gamma filtration on Morava $K$-theories, which gives a conceptual explanation of the nature of the torsion.

Furthermore, we show that under some conditions if the $K(n)$-motive of a smooth projective variety splits, then its $K(m)$-motive splits for all $m\le n$.

Groupes algébriques linéaires, torseurs, invariants cohomologiques, théorie cohomologique orientée, $K$-théorie de Morava, motifs
Linear algebraic groups, torsors, cohomological invariants, oriented cohomology theories, Morava $K$-theory, motives
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