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Applications de la théorie du forçage aux homéomorphismes de l'anneau compact

Applications of forcing theory to homeomorphisms of the closed annulus

Jonathan CONEJEROS, Fábio Armando TAL
Applications de la théorie du forçage aux homéomorphismes de l'anneau compact
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 4
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37E30, 37E45
  • Pages : 1155-1197
  • DOI : 10.24033/asens.2552

Dans cet article, nous étudions les homéomorphismes de l'anneau compact qui sont isotopes à l'identité d'un point de vue de la théorie des rotations, en utilisant la notion de théorie de forçage récemment développée pour les homéomorphismes des surfaces. Notre premier résultat est une solution à la conjecture de Boyland sur l'anneau compact : Supposons que $f$ est un homéomorphisme de $\overline{\mathbb{A}}: = (\mathbb{R} / \mathbb{Z}) \times [0,1]$ qui est isotope à l'identité et qui préserve une mesure borélienne de probabilité $\mu$ à support total. Nous prouvons que si l'ensemble de rotation de $f$ est un intervalle non trivial, le nombre de rotation de la mesure $\mu$ ne peut pas être une borne de cet intervalle. Nous étudions aussi les homéomorphismes $f$ dont $\mathbb{A}: = (\mathbb{R} / \mathbb{Z}) \times (0,1)$ est une région d'instabilité. Nous prouvons que si les nombres de rotation de la restriction de $f$ aux composantes du bord appartiennent à l'intérieur de l'ensemble de rotation de $f$, alors la déviation de $f$ de son ensemble de rotation est uniformément bornée. Enfin en combinant ce dernier résultat et des travaux récents de réalisation de vecteurs de rotation pour les anneaux continus, nous déduisons que si $f$ est un homéomorphisme de $\overline{\mathbb{A}}$ qui est isotope à l'identité et qui préserve l'aire, alors pour tout nombre réel $\rho$ dans l'ensemble de rotation de $f$ il existe un ensemble d'Aubry-Mather, c'est-à-dire un ensemble compact et invariant tel que tout point dans cet ensemble a un nombre de rotation égal à $\rho$. Cela étend un résultat de P. Le Calvez connu auparavant uniquement pour les difféomorphismes.

This paper studies homeomorphisms of the closed annulus that are isotopic to the identity from the viewpoint of rotation theory, using a newly developed forcing theory for surface homeomorphisms. Our first result is a solution to the so called strong form of Boyland's Conjecture on the closed annulus: Assume $f$ is a homeomorphism of $Ā:=(R/Z)\times [0,1]$ which is isotopic to the identity and preserves a Borel probability measure $\mu$ with full support. We prove that if the rotation set of $f$ is a non-trivial segment, then the rotation number of the measure $\mu$ cannot be an endpoint of this segment. We also study the case of homeomorphisms such that $A=(R/Z)\times (0,1)$ is a region of instability of $f$. We show that, if the rotation numbers of the restriction of $f$ to the boundary components lie in the interior of the rotation set of $f$, then $f$ has uniformly bounded deviations from its rotation set. Finally, by combining this last result and recent work on realization of rotation vectors for annular continua, we obtain that if $f$ is any area-preserving homeomorphism of $Ā$ isotopic to the identity, then  for every real number $\rho$ in the rotation set of $f$, there exists an associated Aubry-Mather set, that is, a compact $f$-invariant set such that every point in this set has a rotation number equal to $\rho$. This extends a result by P. Le Calvez previously known only for diffeomorphisms.

Homéomorphisme des surfaces, ensemble d'Aubry-Mather, région d'instabilité
Homeomorphisms of surfaces, Aubry-Mather sets, regions of instability

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