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Une dichotomie pour les hypersurfaces minimales dans les variétés larges à l'infini

A dichotomy for minimal hypersurfaces in manifolds thick at infinity

Antoine SONG
Une dichotomie pour les hypersurfaces minimales dans les variétés larges à l'infini
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 4
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53A10, 53C42
  • Pages : 1085-1134
  • DOI : 10.24033/asens.2550

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne complète de dimension $n+1$, où $2\leq n\leq 6$. Notre théorème principal généralise la solution de la conjecture de S.-T. Yau concernant l'abondance des surfaces minimales, en s'appuyant sur un résultat de M. Gromov. Supposons que la géométrie de $(M,g)$ est bornée, ou plus généralement que $(M,g)$ est large à l'infini. Alors l'espace des hypersurfaces minimales compactes plongées de $(M,g)$ satisfait la dichotomie suivante : ou bien il existe une  infinité de points-selle du $n$-volume, ou bien il n'en existe aucun.

Par ailleurs, nous donnons une preuve nouvelle et courte du fait qu'une variété complète de volume fini contient une hypersurface minimale complète plongée de volume fini, nous vérifions la conjecture de Yau pour les $3$-variétés hyperboliques de volume fini et nous étendons le résultat de densité de Irie-Marques-Neves au cas où $(M,g)$ rétrécit vers zéro à l'infini.

 Let $(M,g)$ be a complete $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold with $2\leq n\leq 6$. Our main theorem generalizes the solution of S.-T. Yau's conjecture on the abundance of minimal surfaces and builds on a result of M. Gromov. Suppose that $(M,g)$ has bounded geometry, or more generally is thick at infinity. Then the following dichotomy holds for the space of closed embedded hypersurfaces in $(M,g)$: either there are infinitely many saddle points of the $n$-volume functional, or there is none.

Additionally, we give a new short proof of the existence of a finite volume minimal hypersurface in finite volume manifolds, we check Yau's conjecture for finite volume hyperbolic 3-manifolds and we extend the density result due to Irie-Marques-Neves when $(M,g)$ is shrinking to zero at infinity.

Hypersurfaces minimales, vari\'{e}t\'{e}s non-compactes, m\'{e}thodes de min-max
Minimal hypersurfaces, non-compact manifolds, min-max constructions

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