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Reconstruction de fonctions à partir de groupes

Reconstructing maps out of groups

Kathryn MANN, Maxime WOLFF
Reconstruction de fonctions à partir de groupes
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 4
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 57S25, 54H15
  • Pages : 1135-1154
  • DOI : 10.24033/asens.2551

Nous montrons que dans de nombreuses situations, un homéomorphisme $f$ d'une variété $M$ peut être reconstruit à partir de la classe d'isomorphisme (marqué) d'un groupe de type fini d'homéomorphismes contenant $f$. Cela nous permet en particulier de relier la notion de régularité critique avec celle de rigidité différentielle, et nous donnons des exemples de groupes de difféomorphismes de
variétés unidimensionnelles avec de fortes propriétés de rigidité différentielle. Nous en déduisons une preuve courte d'un résultat récent de Kim et Koberda, qui affirme qu'il existe des groupes de type fini d'homéomorphismes de classe $C^\alpha$ d'une variété unidimensionnelle $M$, qui n'admettent de plongement dans $\mathrm{Diff}^\beta(M)$ pour aucun $\beta > \alpha \geqslant 1$.

We show that, in many situations, a homeomorphism $f$ of a manifold $M$ may
be recovered from the (marked) isomorphism class of a finitely generated group of homeomorphisms containing $f$. As an application, we relate the notions of critical regularity and of differentiable rigidity, give examples of groups of diffeomorphisms of 1-manifolds with strong differential rigidity, and in so doing give an independent, short proof of a recent result of Kim and Koberda that there exist finitely generated groups of $C^\alpha$ diffeomorphisms of a 1-manifold $M$, not embeddable into $Diff^\beta(M)$ for any $\beta > \alpha \geqslant 1$.

Problèmes de reconstruction, groupes de difféomorphismes de variétés unidimensionnelles, régularité critique, rigidité différentielle
Recognition problems, groups of diffeomorphisms of 1-manifolds, critical regularity, differential rigidity

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