Nous montrons que dans de nombreuses situations, un homéomorphisme $f$ d'une variété $M$ peut être reconstruit à partir de la classe d'isomorphisme (marqué) d'un groupe de type fini d'homéomorphismes contenant $f$. Cela nous permet en particulier de relier la notion de régularité critique avec celle de rigidité différentielle, et nous donnons des exemples de groupes de difféomorphismes de
variétés unidimensionnelles avec de fortes propriétés de rigidité différentielle. Nous en déduisons une preuve courte d'un résultat récent de Kim et Koberda, qui affirme qu'il existe des groupes de type fini d'homéomorphismes de classe $C^\alpha$ d'une variété unidimensionnelle $M$, qui n'admettent de plongement dans $\mathrm{Diff}^\beta(M)$ pour aucun $\beta > \alpha \geqslant 1$.