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Jacobiennes intermédiaires et rationalité sur des corps quelconques

Intermediate Jacobians and rationality over arbitrary fields

Olivier BENOIST, Olivier WITTENBERG
Jacobiennes intermédiaires et rationalité sur des corps quelconques
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 4
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14M20, 14K30, 14G27, 14C35, 14M10
  • Pages : 1029-1084
  • DOI : 10.24033/asens.2549

Nous démontrons qu'une intersection complète lisse de deux quadriques de dimension $3$ sur un corps $k$ est $k$-rationnelle si et seulement si elle contient une droite définie sur $k$.  À cet effet, nous développons une théorie des jacobiennes intermédiaires pour les variétés géométriquement rationnelles de dimension $3$ sur des corps quelconques, non nécessairement parfaits.  Comme conséquence, nous obtenons les premiers exemples de variétés projectives lisses sur un corps $k$ qui ont un $k$-point, et sont rationnelles sur une extension de corps purement inséparable de $k$, mais pas sur $k$.

We prove that a three-dimensional smooth complete intersection of two quadrics over a field $k$ is $k$-rational if and only if it contains a line defined over $k$. To do so, we develop a theory of intermediate Jacobians for geometrically rational threefolds over arbitrary, not necessarily perfect, fields. As a consequence, we obtain the first examples of smooth projective varieties over a field $k$ which have a $k$-point, and are rational over a purely inseparable field extension of $k$, but not over $k$.

Variétés rationnelles, problème de Lüroth, jacobiennes intermédiaires, intersections complètes de deux quadriques, K-théorie algébrique
Rational varieties, Lüroth problem, intermediate Jacobians, complete intersections of two quadrics, algebraic K-theory

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