Nous démontrons qu'une intersection complète lisse de deux quadriques de dimension $3$ sur un corps $k$ est $k$-rationnelle si et seulement si elle contient une droite définie sur $k$.  À cet effet, nous développons une théorie des jacobiennes intermédiaires pour les variétés géométriquement rationnelles de dimension $3$ sur des corps quelconques, non nécessairement parfaits.  Comme conséquence, nous obtenons les premiers exemples de variétés projectives lisses sur un corps $k$ qui ont un $k$-point, et sont rationnelles sur une extension de corps purement inséparable de $k$, mais pas sur $k$.