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Bornes sur les nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles proches de la limite tropicale

Bounding the Betti numbers of real hypersurfaces near the tropical limit

Arthur RENAUDINEAU, Kris SHAW
Bornes sur les nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles proches de la limite tropicale
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 3
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14P25, 14T90
  • Pages : 945-980
  • DOI : 10.24033/asens.2547

On démontre une borne conjecturée par Itenberg sur les nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles proches de la limite tropicale. Ces bornes sont exprimées en fonction des nombres de Hodge de la complexification. Pour démontrer ces bornes nous introduisons une variante de l'homologie tropicale dans le cadre réel, et définissons une filtration sur le complexe de chaîne associé, inspirée par la filtration de Kalinin. La suite spectrale associée à cette filtration converge vers les groupes d'homologie de la variété algébrique réelle, et nous montrons que les termes de la première page sont les groupes d'homologie tropicale (à coefficients dans $\mathbb{Z}⧸2ℤ$). Les dimensions de ces groupes d'homologie correspondent aux nombres de Hodge des hypersurfaces projectives complexes grâce aux résultats d'Itenberg, Mikhalkin, Katzarkov, Zharkov d'une part et des auteurs avec Arnal d'autre part. Les bornes sur les nombres de Betti s'ensuivent, ainsi qu'un critère pour obtenir une variété maximale. Nous généralisons également la formule due à Bertrand reliant la signature d'une hypersurface complexe et la caractéristique d'Euler d'une hypersurface réelle, et nous redémontrons le critère combinatoire de Haas sur la maximalité des courbes planes proches de la limite tropicale.

We prove a bound conjectured by Itenberg on the Betti numbers of real algebraic hypersurfaces near non-singular tropical limits. These bounds are given in terms of the Hodge numbers of the complexification. To prove the conjecture we introduce a real variant of tropical homology and define a filtration on the corresponding chain complex inspired by Kalinin's filtration. The spectral sequence associated to this filtration converges to the homology groups of the real algebraic variety and we show that the terms of the first page are tropical homology groups with $Z⧸2ℤ$-coefficients. The dimensions of these homology groups correspond to the Hodge numbers of complex projective hypersurfaces by combining results of Itenberg, Mikhalkin, Katzarkov, and Zharkov and the authors together with Arnal. The bounds on the Betti numbers of the real part follow, as well as a criterion to obtain a maximal variety. We also generalize Bertrand's formula relating the signature of the complex hypersurface and the Euler characteristic of the real algebraic hypersurface, as well as reprove Haas' combinatorial criterion for the maximality of plane curves near the tropical limit.

Géométrie algébrique réelle, géométrie tropicale
Real algebraic geometry, tropical geometry

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