On démontre une borne conjecturée par Itenberg sur les nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles proches de la limite tropicale. Ces bornes sont exprimées en fonction des nombres de Hodge de la complexification. Pour démontrer ces bornes nous introduisons une variante de l'homologie tropicale dans le cadre réel, et définissons une filtration sur le complexe de chaîne associé, inspirée par la filtration de Kalinin. La suite spectrale associée à cette filtration converge vers les groupes d'homologie de la variété algébrique réelle, et nous montrons que les termes de la première page sont les groupes d'homologie tropicale (à coefficients dans $\mathbb{Z}⧸2ℤ$). Les dimensions de ces groupes d'homologie correspondent aux nombres de Hodge des hypersurfaces projectives complexes grâce aux résultats d'Itenberg, Mikhalkin, Katzarkov, Zharkov d'une part et des auteurs avec Arnal d'autre part. Les bornes sur les nombres de Betti s'ensuivent, ainsi qu'un critère pour obtenir une variété maximale. Nous généralisons également la formule due à Bertrand reliant la signature d'une hypersurface complexe et la caractéristique d'Euler d'une hypersurface réelle, et nous redémontrons le critère combinatoire de Haas sur la maximalité des courbes planes proches de la limite tropicale.