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Autour de la stabilité orbitale d'une famille d'ondes progressives pour l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg

On the orbital stability of a family of travelling waves for the cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group

Louise GASSOT
Autour de la stabilité orbitale d'une famille d'ondes progressives pour l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B35, 35C07, 35Q55, 43A80
  • Pages : 15-54
  • DOI : 10.24033/bsmf.2824

On considère l'équation de Schrödinger énergie-critique sur le groupe de Heisenberg dans le cas radial
\begin{gather*}
i\partial_t u-\Delta_{\mathbb{H}^1} u=|u|^2u,
\quad    \Delta_{\mathbb{H}^1}=\frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2)+(x^2+y^2)\partial_s^2,
\quad    (t,x,y,s)\in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1,
\end{gather*}
qui est un modèle d'équation d'évolution non dispersive. Pour cette équation, dans l'espace d'énergie, l'existence globale de solutions régulières et l'unicité de solutions faibles sont des problèmes ouverts. On s'intéresse à une famille d'ondes progressives minimisantes paramétrées par leur vitesse dans $\mathopen]-1,1\mathclose[$. On montre que les ondes progressives dont la vitesse est proche de $1$ possèdent des propriétés de stabilité orbitale au sens suivant. Pour toute donnée initiale radiale suffisamment proche d'une onde progressive, alors il existe une solution faible globale associée à cette donnée initiale qui reste proche de l'orbite de l'onde progressive en tout temps. Un résultat similaire est montré pour le système limite associé à cette équation.

We consider the focusing energy-critical Schrödinger equation on the Heisenberg group in the radial case
\begin{gather*}
i\partial_t u-\Delta_{\mathbb{H}^1} u=|u|^2u,
\quad    \Delta_{\mathbb{H}^1}=\frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2)+(x^2+y^2)\partial_s^2,
\quad    (t,x,y,s)\in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1,
\end{gather*}
which is a model for non-dispersive evolution equations. For this equation, the existence of global smooth solutions and the uniqueness of weak solutions in the energy space are open problems. We are interested in a family of ground-state travelling waves parameterized by their speed in~$(-1,1)$. We show that the travelling waves of speed close to $1$ present some orbital stability in the following sense. If the initial data is radial and close enough to one traveling wave, then there exists a global weak solution that stays close to the orbit of this travelling wave at all times. A similar result is proven for the limiting system associated to this equation.

Équation de Schrödinger non linéaire, Onde progressive, Stabilité orbitale, Groupe de Heisenberg, Équation sans dispersion, Noyau de Bergman
Nonlinear Schrödinger equation, Traveling wave, Orbital stability, Heisenberg group, Dispersionless equation, Bergman kernel
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