La conjecture $3k-4$ dans les groupes $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, pour $p$ premier, affirme que si $A$ est un sous-ensemble non vide de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant $2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$, alors $A$ est inclus dans une suite arithmétique de cardinalité au plus $|A|+r+1$. Le meilleur résultat précédent vers cette conjecture, sans contraintes supplémentaires sur $|A|$, est un théorème de Serra et Zémor qui confirme la conjecture pour $r\leq 0.0001|A|$. Sous la faible contrainte additionnelle $|2A|\leq 3p/4$, qui est optimale en un sens détaillé dans l'article, notre premier résultat principal améliore la borne supérieure sur $r$, permettant de prendre $r\leq 0.1368|A|$. Nous démontrons aussi une variante qui améliore davantage la borne sur $r$ pour tout ensemble $A$ suffisamment dense. Nous présentons ensuite plusieurs applications. Premièrement, la variante en question est employée pour obtenir une nouvelle borne supérieure pour la densité maximale des ensembles sans $m$-somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, i.e., les ensembles $A$ tels qu'il n'existe aucune solution $(x,y,z)\in A^3$ de l'\'equation $x+y=mz$, où $m\geq 3$ est un entier fixé. Précédemment, la meilleure borne supérieure pour cette densité maximale était  $1/3.0001$ (comme conséquence du théorème de Serra-Zémor). Nous obtenons ici la borne améliorée $1/3.1955$. Nous présentons aussi une construction suivant une idée de Schoen, qui fournit une borne inférieure $1/8+o(1)_{p\to\infty}$ pour la densité maximale en question. Une autre application de nos résultats concerne les ensembles de la forme $\frac{A+A}{A}$ dans $\mathbb F _p$. Nous donnons aussi une description améliorée de la structure des grands ensembles sans somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.