SMF

Sur les ensembles de petite somme et les ensembles sans $m$-somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

On sets with small sumset and $m$-sum-free sets in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

Pablo CANDELA, Diego GONZÁLEZ-SÁNCHEZ, David J. GRYNKIEWICZ
Sur les ensembles de petite somme et les ensembles sans $m$-somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11P70, 11B13, 05B10
  • Pages : 155-177
  • DOI : 10.24033/bsmf.2827

La conjecture $3k-4$ dans les groupes $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, pour $p$ premier, affirme que si $A$ est un sous-ensemble non vide de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant $2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$, alors $A$ est inclus dans une suite arithmétique de cardinalité au plus $|A|+r+1$. Le meilleur résultat précédent vers cette conjecture, sans contraintes supplémentaires sur $|A|$, est un théorème de Serra et Zémor qui confirme la conjecture pour $r\leq 0.0001|A|$. Sous la faible contrainte additionnelle $|2A|\leq 3p/4$, qui est optimale en un sens détaillé dans l'article, notre premier résultat principal améliore la borne supérieure sur $r$, permettant de prendre $r\leq 0.1368|A|$. Nous démontrons aussi une variante qui améliore davantage la borne sur $r$ pour tout ensemble $A$ suffisamment dense. Nous présentons ensuite plusieurs applications. Premièrement, la variante en question est employée pour obtenir une nouvelle borne supérieure pour la densité maximale des ensembles sans $m$-somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, i.e., les ensembles $A$ tels qu'il n'existe aucune solution $(x,y,z)\in A^3$ de l'\'equation $x+y=mz$, où $m\geq 3$ est un entier fixé. Précédemment, la meilleure borne supérieure pour cette densité maximale était  $1/3.0001$ (comme conséquence du théorème de Serra-Zémor). Nous obtenons ici la borne améliorée $1/3.1955$. Nous présentons aussi une construction suivant une idée de Schoen, qui fournit une borne inférieure $1/8+o(1)_{p\to\infty}$ pour la densité maximale en question. Une autre application de nos résultats concerne les ensembles de la forme $\frac{A+A}{A}$ dans $\mathbb F _p$. Nous donnons aussi une description améliorée de la structure des grands ensembles sans somme dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

The $3k-4$ conjecture in groups $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ for $p$ prime states that if $A$ is a nonempty subset of $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ satisfying $2A\neq \mathbb Z/p\mathbb Z$ and $|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$, then $A$ is covered by an arithmetic progression of size at most $|A|+r+1$. Previously, the best result toward this conjecture, without any additional constraint on $|A|$, was a theorem of Serra and Zémor proving the conjecture provided $r\leq 0.0001|A|$. Subject to the mild additional constraint $|2A|\leq 3p/4$, which is optimal in the sense explained in the paper, our first main result improves the bound on $r$,  allowing $r\leq 0.1368|A|$. We also prove a variant that further improves this bound on $r$ provided that $A$ is sufficiently dense. We then give several applications. First, we apply the above variant to give a new upper bound for the maximal density of $m$-sum-free sets in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, i.e., sets $A$ having no solution $(x,y,z)\in A^3$ to the equation $x+y=mz$, where $m\geq 3$ is a fixed integer. The previous best upper bound for this maximal density was $1/3.0001$ (using the Serra-Z\'emor theorem). We improve this to $1/3.1955$. We also present a construction following an idea of Schoen, which yields a lower bound for this maximal density of the form $1/8+o(1)_{p\to\infty}$. Another application of our main results concerns sets of the form $\frac{A+A}{A}$ in $\mathbb F _p$, and we also improve the structural description of large sum-free sets in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Combinatoire additive, Ensemble de petite somme, Ensemble sans $m$-somme, Théor\`eme $3k-4$ de Freiman, Conjecture $3k-4$
Additive combinatorics, Small sumset, $m$-sum-free set, Freiman's $3k-4$ theorem, $3k-4$ conjecture
Prix Électronique
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +