Nous présentons dans cet article une nouvelle notion d'arbres (continus), appelés arbres algébriques, qui généralise celle des arbres dénombrables (en théorie des graphes) à des structures (potentiellement) indénombrables. Pour cela, nous nous intéressons uniquement à la structure d'arbre donnée par la fonction de branchement, qui à chaque triplet de points associe leur point de branchement. Nous définissons les arbres algébriques de manière axiomatique et les munissons d'une topologie naturelle ainsi que d'une mesure de probabilité sur la tribu borélienne. Sous une condition de séparabilité de la structure d'ordre, les arbres algébriques mesurés peuvent être considérés comme des classes d'équivalence d'arbres métriques mesurés (i.e. des sous-arbres de $\mathbb R$-arbres). À chaque arbre algébrique mesuré on peut associer un arbre métrique en considérant la distance générée par la distribution des points de branchement. En utilisant la convergence Gromov-faible (i.e. la convergence des distances échantillonnées) de ces arbres métriques mesurés associés, nous définissons une topologie métrisable sur l'espace des classes d'équivalence d'arbres algébriques mesurés.

Le cas des arbres binaires est particulièrement intéressant en termes d'applications. Nous introduisons sur ce sous-espace deux autres topologies naturelles, la convergence des cladogrammes engendrés par un échantillon de points de l'arbre et la convergence des masses des sous-arbres associés à un échantillon. En utilisant le lien avec les triangulations du cercle, nous montrons que ces trois topologies sont identiques, et que l'espace des arbres algébriques mesurés binaires est compact. Nous donnons pour cela une définition formelle des triangulations du cercle, et nous montrons que la fonction de codage qui à une triangulation associe un arbre algébrique mesuré est une surjection continue sur le sous-espace des arbres algébriques binaires munis d'une mesure diffuse.