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Espaces d'arbres algébriques mesurés et triangulations du cercle

Spaces of algebraic measure trees and triangulations of the circle

Wolfgang LÖHR, Anita WINTER
Espaces d'arbres algébriques mesurés et triangulations du cercle
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60B10, 05C05; 60D05, 54F50, 57R05, 60C05
  • Pages : 55-117
  • DOI : 10.24033/bsmf.2825

Nous présentons dans cet article une nouvelle notion d'arbres (continus), appelés arbres algébriques, qui généralise celle des arbres dénombrables (en théorie des graphes) à des structures (potentiellement) indénombrables. Pour cela, nous nous intéressons uniquement à la structure d'arbre donnée par la fonction de branchement, qui à chaque triplet de points associe leur point de branchement. Nous définissons les arbres algébriques de manière axiomatique et les munissons d'une topologie naturelle ainsi que d'une mesure de probabilité sur la tribu borélienne. Sous une condition de séparabilité de la structure d'ordre, les arbres algébriques mesurés peuvent être considérés comme des classes d'équivalence d'arbres métriques mesurés (i.e. des sous-arbres de $\mathbb R$-arbres). À chaque arbre algébrique mesuré on peut associer un arbre métrique en considérant la distance générée par la distribution des points de branchement. En utilisant la convergence Gromov-faible (i.e. la convergence des distances échantillonnées) de ces arbres métriques mesurés associés, nous définissons une topologie métrisable sur l'espace des classes d'équivalence d'arbres algébriques mesurés.

Le cas des arbres binaires est particulièrement intéressant en termes d'applications. Nous introduisons sur ce sous-espace deux autres topologies naturelles, la convergence des cladogrammes engendrés par un échantillon de points de l'arbre et la convergence des masses des sous-arbres associés à un échantillon. En utilisant le lien avec les triangulations du cercle, nous montrons que ces trois topologies sont identiques, et que l'espace des arbres algébriques mesurés binaires est compact. Nous donnons pour cela une définition formelle des triangulations du cercle, et nous montrons que la fonction de codage qui à une triangulation associe un arbre algébrique mesuré est une surjection continue sur le sous-espace des arbres algébriques binaires munis d'une mesure diffuse.

In this paper, we present with algebraic trees, a novel notion of (continuum) trees that generalizes countable graph-theoretic trees to (potentially) uncountable structures. For this purpose, we focus on the tree structure given by the branch-point map, which assigns to each triple of points their branch point. We give an axiomatic definition of algebraic trees, define a natural topology, and equip them with a probability measure on the Borel-$\sigma$-field. Under an order-separability condition, algebraic (measure) trees can be considered as tree structure equivalence classes of metric (measure) trees (i.e., subtrees of $\mathbb R$-trees). Using Gromov-weak convergence (i.e., sample distance convergence) of the particular representatives given by the metric arising from the distribution of branch points, we define a metrizable topology on the space of equivalence classes of algebraic measure trees.

In many applications, binary trees are of particular interest. We introduce on that subspace with the sample shape and the sample subtree mass convergence two additional, natural topologies. Relying on the connection to triangulations of the circle, we show that all three topologies are actually the same, and the space of binary algebraic measure trees is compact. To this end, we provide a formal definition of triangulations of the circle and show that the coding map that sends a triangulation to an algebraic measure tree is a continuous surjection onto the subspace of binary algebraic nonatomic measure trees.

Arbre continu, $\mathbb{R}$-arbre, Arbre métrique, Fonction de branchement, Convergence d'arbres, Convergence Gromov-faible, Arbre aléatoire continu brownien, Arbre de Yule, Espace des états
Continuum tree, $\mathbb{R}$-tree, Metric tree, Branch-point map, Convergence of trees, Sample shape convergence, Gromov-weak convergence, Brownian CRT, $\beta$-splitting tree, Yule tree, State space
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