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Axiome A versus phénomène de Newhouse pour les modèles jouets de Benedicks-Carleson

Axiom A versus Newhouse phenomena for Benedicks-Carleson toy models

Carlos Matheus, Carlos G. Moreira, Enrique R. Pujals
Axiome A versus phénomène de Newhouse pour les modèles jouets de Benedicks-Carleson
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D40; 37D20.
  • Pages : 857-878
  • DOI : 10.24033/asens.2204
Nous considérons une famille de systèmes introduite en 1991 par Benedicks et Carleson comme un modèle jouet pour la dynamique des applications d'Hénon. Nous montrons que l'axiome A de Smale est une propriété $C^1$-dense parmi les systèmes dans cette famille, même si nous trouvons aussi des ensembles $C^2$-ouverts (liés au phénomène de Newhouse) où l'axiome A de Smale n'est pas satisfait. En particulier, notre résultat soutient la conjecture de Smale selon laquelle l'axiome A est une propriété $C^1$-dense parmi les difféomorphismes de surfaces. Les outils utilisés dans la preuve de notre résultat sont : (1) un théorème récent de Moreira qui dit que les intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques (une des obstructions majeures à l'axiome A pour les difféomorphismes de surfaces) peuvent être enlevées par des perturbations $C^1$-petites ; (2) la bonne géométrie de l'ensemble de points critiques dynamiques (au sens de Rodriguez-Hertz et Pujals) due à la forme particulière des modèles jouets de Benedicks-Carleson.
We consider a family of planar systems introduced in 1991 by Benedicks and Carleson as a toy model for the dynamics of the so-called Hénon maps. We show that Smale's Axiom A property is $C^1$-dense among the systems in this family, despite the existence of $C^2$-open subsets (closely related to the so-called Newhouse phenomena) where Smale's Axiom A is violated. In particular, this provides some evidence towards Smale's conjecture that Axiom A is a $C^1$-dense property among surface diffeomorphisms. The basic tools in the proof of this result are : (1) a recent theorem of Moreira saying that stable intersections of dynamical Cantor sets (one of the main obstructions to Axiom A property for surface diffeomorphisms) can be destroyed by $C^1$-perturbations ; (2) the good geometry of the dynamical critical set (in the sense of Rodriguez-Hertz and Pujals) thanks to the particular form of Benedicks-Carleson toy models.
Axiome A, phénomène de Newhouse, modèles jouets de Benedicks-Carleson, applications d'Hénon, points critiques dynamiques, intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques, systèmes dynamiques en dimension deux.
Axiom A, Newhouse phenomena, Benedicks-Carleson toy models, Hénon maps, dynamical critical points, stable intersections of dynamical Cantor sets, two-dimensional dynamical systems.
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