On démontre dans cet article des versions probabilistes des injections de Sobolev sur une variété riemannienne compacte, $(M,g)$. Plus précisément on démontre que pour des mesures de probabilité naturelles sur l'espace $L^2(M)$, presque toute fonction appartient à tous les espaces $L^p(M)$, $p<+\infty $. On donne ensuite des applications à l'étude des harmoniques sphériques sur la sphère $\mathbb {S}^d$ : on démontre (encore pour des mesures de probabilité naturelles) que presque toute base hilbertienne de $L^2( \mathbb {S}^d)$ formée d'harmoniques sphériques a tous ses éléments uniformément bornés dans tous les espaces $L^p(\mathbb {S}^d), p<+\infty $. On démontre aussi des résultats similaires sur les tores $\mathbb {T}^d$. On donne aussi une application à l'étude du taux de décroissance de l'équation des ondes amortie dans un cadre où la condition de contrôle géométrique de Bardos, Lebeau et Rauch n'est pas vérifiée. En supposant le flot ergodique, on démontre qu'il existe sur des ensembles de mesure arbitrairement proche de $1$ (dans l'espace des données initiales d'énergie finie), un taux de décroissance uniforme. Finalement, on conclut avec une application à l'étude de l'équation des ondes semi-linéaire $H^1$-surcritique, pour laquelle on démontre que pour presque toute donnée initiale, les solutions faibles sont fortes et uniques (localement en temps).