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Calcul pseudodifférentiel singulier pour les trains d'ondes et les pulses

Singular pseudodifferential calculus for wavetrains and pulses

Jean-Francois Coulombel, Olivier Guès, Mark Williams
Calcul pseudodifférentiel singulier pour les trains d'ondes et les pulses
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  • Année : 2014
  • Fascicule : 4
  • Tome : 142
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35S05, 47G30.
  • Pages : 719-776
  • DOI : 10.24033/bsmf.2677
Nous généralisons l'analyse de [?] et construisons un calcul pseudodifférentiel singulier pour des symboles ne vérifiant pas les hypothèses iques de décroissance fréquentielle. Les résultats de [?] montraient que les restes du calcul symbolique étaient des opérateurs bornés sur $L^2$, dont la norme d'opérateur était contrôlée par rapport à un petit paramètre. Nous démontrons ici un effet régularisant pour ces restes dans une échelle d'espaces de Sobolev anisotropes. Notre analyse permet d'étendre les résultats de [?] sur l'existence de solutions hautement oscillantes de problèmes hyperboliques non-linéaires en s'affranchissant de l'hypothèse de support compact des données. Nos résultats sont aussi utilisés dans les articles compagnons [?] pour justifier un régime d'optique géométrique non-linéaire avec amplification sur le bord. L'analyse est menée ici avec une variable rapide réelle ou bien périodique de manière à traiter des problèmes d'optique géométrique pour des pulses ou des trains d'ondes.
We generalize the analysis of [?] and develop a singular pseudodifferential calculus. The symbols that we consider do not satisfy the standard decay with respect to the frequency variables. While in [?], the remainders in the symbolic calculus were seen to be merely bounded operators on $L^2$, whose norm was measured with respect to some small parameter, we show here a smoothing property for the remainders. Due to a nonstandard decay in the frequency variables, the smoothing effect takes place in a scale of anisotropic, and singular, Sobolev spaces. Our analysis allows to extend the results of [?] on the existence of highly oscillatory solutions to nonlinear hyperbolic problems by dropping the compact support condition on the data. The results are also used in our companion works [?] to justify nonlinear geometric optics with boundary amplification, which corresponds to a more singular regime than the one considered in [?]. The analysis is carried out with either an additional real or periodic variable in order to cover problems for pulses or wavetrains in nonlinear geometric optics.
Opérateurs pseudodifférentiels, intégrales oscillantes, calcul symbolique.
Pseudodifferential operators, oscillatory integrals, symbolic calculus.
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