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Classes de cohomologie représentées par des feuilletages mesurés et question de Mahler pour les échanges d'intervalles

Cohomology es represented by measured foliations, and Mahler's question for interval exchanges

Yair Minsky, Barak Weiss
Classes de cohomologie représentées par des feuilletages mesurés et question de Mahler pour les échanges d'intervalles
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  • Année : 2014
  • Tome : 47
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D40; 32G15 37F30 57M50.
  • Pages : 245-284
  • DOI : 10.24033/asens.2214
Une structure de translation sur une surface marquée $(S,\Sigma )$ donne lieu à deux feuilletages mesurés $\mathcal {F}$, $\mathcal {G}$ sur $S$ à singularités dans $\Sigma $ et, par intégration, à un couple de es de cohomologie relative $[\mathcal {F}]$, $[\mathcal {G}]\in H^1(S,\Sigma ;\mathbb {R})$. Étant donné un feuilletage mesuré $\mathcal {F}$, nous caractérisons l'ensemble des es de cohomologie $\mathbf {b}$ pour lesquelles il existe un feuilletage mesuré $\mathcal {G}$ comme ci-dessus tel que $\mathbf {b}=[\mathcal {G}]$. Cela généralise des résultats antérieurs de Thurston [?] et Sullivan [?]. Nous appliquons ce résultat à deux problèmes : l'unique ergodicité des échanges d'intervalles et les flots sur l'espace des modules des surfaces de translation. Étant donnée une permutation $\sigma \in \mathcal S_d$, l'ensemble $\mathbb R^d_+$ paramètre les échanges d'intervalles sur $d$ intervalles de permutation associée $\sigma $. Nous décrivons les droites $\ell $ de $\mathbb R^d_+$ dont presque tout point est uniquement ergodique. Nous démontrons aussi que si $\sigma $ est donnée par $\sigma (i)=d+1-i$, pour presque tout $s>0$, l'échange d'intervalles correspondant à $\sigma $ et à $(s,s^2,\dots ,s^d)$ est uniquement ergodique. Une autre application est que lorsque $k=|\Sigma |\geq 2$, l'opération consistant à « déplacer horizontalement les singularités » est bien définie. En notant $B$ le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de $\mathrm {SL}(2,\mathbb R)$, nous prouvons qu'il y a une action bien définie du groupe $B\times \mathbb R^{k-1}$ sur l'ensemble des surfaces de translation de type $(S,\Sigma )$ sans connexion horizontale.
A translation structure on $(S, \Sigma )$ gives rise to two transverse measured foliations $\mathcal {F}, \mathcal {G}$ on $S$ with singularities in $\Sigma $, and by integration, to a pair of relative cohomology es $[\mathcal {F}], \, [\mathcal {G}] \in H^1(S, \Sigma ; \mathbb R)$. Given a measured foliation $\mathcal {F}$, we characterize the set of cohomology es $\mathbf {b}$ for which there is a measured foliation $\mathcal {G}$ as above with $\mathbf {b} = [\mathcal {G}]$. This extends previous results of Thurston [?] and Sullivan [?]. We apply this to two problems : unique ergodicity of interval exchanges and flows on the moduli space of translation surfaces. For a fixed permutation $\sigma \in \mathcal {S}_d$, the space $\mathbb R^d_+$ parametrizes the interval exchanges on $d$ intervals with permutation $\sigma $. We describe lines $\ell $ in $\mathbb R^d_+$ such that almost every point in $\ell $ is uniquely ergodic. We also show that for $\sigma (i) = d+1-i$, for almost every $s>0$, the interval exchange transformation corresponding to $\sigma $ and $(s, s^2, \ldots , s^d)$ is uniquely ergodic. As another application we show that when $k=|\Sigma |\geq 2,$ the operation of “moving the singularities horizontally” is globally well-defined. We prove that there is a well-defined action of the group $B \ltimes \mathbb R^{k-1}$ on the set of translation surfaces of type $(S, \Sigma )$ without horizontal saddle connections. Here $B \subset \mathrm {SL}(2,\mathbb R)$ is the subgroup of upper triangular matrices.
Classes de cohomologie, feuilletages mesurés, la question de Mahler, échanges d'intervalles.
Cohomology es, measured foliations, interval exchanges.
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