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Cogénérateurs explicites pour la catégorie homotopique des modules projectifs sur un anneau

Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring

Amnon Neeman
Cogénérateurs explicites pour la catégorie homotopique des modules projectifs sur un anneau
  • Année : 2011
  • Fascicule : 4
  • Tome : 44
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18E30; 18G05
  • Pages : 607-629
  • DOI : 10.24033/asens.2151
Soit $R$ un anneau. Dans deux articles antérieurs [?], on a étudié la catégorie d'homotopie $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$ des $R$-modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau $\aleph _1$ pour chaque anneau $R$, mais qu'elle n'est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour $R$ un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$ est compactement générée. On a étudié l'inclusion $j_!^{}:\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ et la sous-catégorie orthogonale $\mathcal {S}={\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})}^\perp $. On a même montré que l'inclusion $\mathcal {S}\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ admet un adjoint à droite ; il s'ensuit qu'une certaine application naturelle $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})\longrightarrow \mathcal {S}^\perp $ est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$. Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalente $\mathcal {S}^\perp \cong \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$ ; on peut l'utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l'inclusion $\mathcal {S}\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.
Let $R$ be a ring. In two previous articles [?] we studied the homotopy category $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$ of projective $R$-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is $\aleph _1$-compactly generated for any ring $R$, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice $R$. We furthermore analyzed the inclusion $j_!^{}:\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ and the orthogonal subcategory $\mathcal {S}={\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})}^\perp $. And we even showed that the inclusion $\mathcal {S}\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ has a right adjoint ; this forces some natural map to be an equivalence $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})\longrightarrow \mathcal {S}^\perp $. In this article we produce a set of cogenerators for $\mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$. More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent $\mathcal {S}^\perp \cong \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Proj})$ ; it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion $\mathcal {S}\longrightarrow \mathbf {K}(R\text {-}\mathrm {Flat})$ has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.
Catégories triangulées, générateurs, cogénérateurs, modules plats, modules projectifs
Triangulated categories, generators, cogenerators, flat modules, projective modules
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